空间向量共面定理及证明？

共面向量定理

共面向量的定义：能平移到一个平面上的三个向量称为共面向量。

共面向量定理是数学学科的基本定理之一。属于高中数学立体几何的教学范畴。主要用于证明两个向量共面，进而证明面面垂直等一系列复杂问题。

中文名

共面向量基本定理

外文名

Coplanar Vector

别名

共面向量定理

适用领域

立体几何，空间向量

应用学科

数学

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推论

内容

如果两个向量a.b不共线，则向量p与向量a.b共面的充要条件是存在唯一有序实数对(x.y),使　p=xa+yb

定义为：能平移到同一平面上的三个向量叫做共面向量

推论

推论1

设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x,y,z)

使得OP=xOA+yOB+zOC 说明：若x+y+z=1 则PABC四点共面

（1）唯一性：

设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC

则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC

∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0

∵OA、OB、OC不共面

∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'

故实数x,y,z是唯一的。

（2）若x+y+z=1， 则PABC四点共面：

假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 ，且PABC不共面

那么z=1-x-y ，则OP=xOA+yOB+（1-x-y）OC

=xOA-xOC+yOB-yOC+OC

=OC+xCA+yCB (CP=xCA+yCB)

点P位于平面ABC内，与假设中的条件矛盾，故原命题成立。

推论2

空间任一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对{,x.y}，使　MP=xMA+yMB　或对空间任一定点O，有　OP=OM+xMA+yMB

共面向量定理：

如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by