1-cosx等价无穷小(ln(1+x^2)的不定积分的极限)

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牛顿283、无穷小等价替换定理;用泰勒展开式推导等价无穷小公式

低阶无穷小(百度百科):…

…阶,无、穷、无穷,小,无穷小:见《牛顿280、281》…

称一个函数是无穷小量,一定要说明自变量的变化趋势。例如x^2-4在x→2时是无穷小量,而不能笼统说x^2-4是无穷小量。

…函、数、函数:见《欧几里得52》…

(…《欧几里得》:小说名…)

…量:见《欧几里得27》…

…变、化、变化:见《伽利略10》…

(…《伽利略》:小说名…)

…^:乘方…

…x^2:x的平方…

无穷小的比较

…比、较、比较:见《牛顿114》…

观察无穷小比值的极限:

…极、限、极限:见《欧几里得178》…

…lim:limit…

[…limit(英文):n.限度;限制;极限;限量;限额;(地区或地方的)境界,界限,范围

v.限制;限定;限量;减量…]

两个无穷小比值极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋于0的“快慢”程度。

…反、映、反映:见《欧几里得22》…

在x→0 的过程中,x^2→0 比 3x→0 “快些”,反过来,3x→0比x^2→0 “慢些”,而sin x→0与x→0“快慢相仿”。

…过、程、过程:见《欧几里得194》…

为了应用上的需要,我们就无穷小之比的极限存在、或为无穷大时,给出下面的比较定义。

…应、用、应用:见《欧几里得181》…

…定、义、定义:见《欧几里得28》…

定义,设α及β都是同一个自变量的变化过程中的无穷小。

…α:Alpha(大写Α,小写α,中文音译:阿尔法、阿拉法),是第1个希腊字母…

…β:beta(大写Β,小写β,中文音译:贝塔),是第2个希腊字母…

如果Iim(β/α)=0,就说β是比α高阶的无穷小,记为β=0(α);

如果Iim(β/α)= ∞,就说β是比α低阶的无穷小;

如果Iim(β/α)= c≠0,就说β与α是同阶无穷小;

如果Iim(β/α)= 1,就说β与α是等阶无穷小,记为β~α;

同阶无穷小(百度百科):…

同阶无穷小量,其主要对于两个无穷小量的比较而言,意思是两种趋近于0的速度相仿。

…速、度、速度:见《伽利略3》…

例如:

计算极限:lim(1-cosx)/x^2在x→0时,得到值为1/2,则说在x→0时,(1-cosx)与x^2是同阶无穷小。

例如,因为

所以,在 x→3 的过程中,x^2-9 与 x-3是同阶无穷小。意思是在x→3的过程中,(x^2-9)→0与(x-3)→0的快慢一样。

等价无穷小(百度百科):…

无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于0的速度是相等的。

等价无穷小替换,是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。

…计、算、计算:见《欧几里得157》…

…方、法、方法:见《欧几里得2、3》…

…化:后缀。加在名词或形容词之后构成动词,表示转变成某种性质或状态:绿~。美~。恶~。电气~。机械~。水利~…见《欧几里得2》…

…简:见《欧几里得77》…

求极限时,使用等价无穷小的条件:

1、被代换的量,在取极限的时候极限值为0;

2、被代换的量,作为被乘或者被除的元素时,可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。

公式

…公:见《欧几里得1》…

…式、公式:见《欧几里得132》…

注:以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

…推、导、推导:见《欧几里得7》…

“牛顿用“路程的改变量ΔS”与“时间的改变量Δt”之比“ΔS/Δt”表示运动物体的平均速度,让Δt无限趋近于0,得到物体的瞬时速度,并由此引出导数概念和微分学理论。

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